Momentum

MOMENTUM

Dalam mekanika klasik, momentum linear atau momentum translasi (gb. momentum; Satuan SI kg m / s, atau ekuivalen, N s) adalah produk dari massa dan kecepatan suatu benda. Sebagai contoh, sebuah truk berat bergerak cepat memiliki momentum-itu besar dibutuhkan tenaga yang besar dan panjang untuk mendapatkan truk sampai dengan kecepatan ini, dan dibutuhkan tenaga yang besar dan berkepanjangan untuk membawanya berhenti setelah itu. Jika truk yang lebih ringan, atau bergerak lebih lambat, maka akan memiliki momentum kurang.

Seperti kecepatan, momentum linear adalah besaran vektor, memiliki arah serta besarnya:

Momentum linear juga merupakan kuantitas kekal, yang berarti bahwa jika sistem tertutup tidak terpengaruh oleh kekuatan eksternal, momentum linear jumlah yang tidak bisa berubah. Dalam mekanika klasik, kekekalan momentum linear yang tersirat oleh hukum Newton, tetapi juga berlaku dalam relativitas khusus (dengan formula yang dimodifikasi) dan, dengan definisi yang tepat, sebuah (umum) linear hukum kekekalan momentum berlaku dalam elektrodinamika, mekanika kuantum, medan kuantum teori, dan relativitas umum.

Mekanika Newton

Momentum memiliki arah serta besarnya. Kuantitas yang memiliki kedua besar dan arah yang dikenal sebagai jumlah vektor. Karena momentum memiliki arah, dapat digunakan untuk memprediksi arah yang dihasilkan benda setelah mereka bertabrakan, serta kecepatan mereka. Di bawah, sifat dasar momentum dijelaskan dalam satu dimensi. Persamaan vektor hampir identik dengan persamaan skalar (lihat beberapa dimensi).

PARTIKEL TUNGGAL

Momentum partikel secara tradisional diwakili oleh huruf p. Ini adalah produk dari dua kuantitas, massa (diwakili oleh huruf m) dan kecepatan (v): [1]

p = m v

Satuan momentum adalah produk dari unit massa dan kecepatan. Dalam satuan SI, jika massa dalam kilogram dan kecepatan dalam meter per detik, maka momentum tersebut dalam kilogram meter / detik (kg m / s). Menjadi vektor, momentum memiliki besar dan arah. Sebagai contoh, sebuah pesawat model 1 kg, bepergian ke utara pada 1 m / s dalam lurus dan tingkat penerbangan, memiliki momentum dari 1 kg m / s ke utara diukur dari tanah.

BANYAK PARTIKEL

Momentum sistem partikel adalah jumlah dari momentum mereka. Jika dua partikel memiliki massa m1 dan m2, dan kecepatan v1 dan v2, momentum total

 

Momentum lebih dari dua partikel dapat ditambahkan dengan cara yang sama.

Sebuah sistem partikel memiliki pusat massa, titik ditentukan oleh jumlah tertimbang dari posisi mereka:

Jika semua partikel bergerak, pusat massa pada umumnya akan bergerak juga. Jika pusat massa bergerak dengan kecepatan v cm, momentum adalah:

Hal ini dikenal sebagai hukum pertama Euler. [2] [3]

KAITANNYA DENGAN KEKUATAN

Jika gaya F diterapkan untuk partikel untuk interval waktu At, momentum perubahan partikel dengan jumlah yang

Dalam bentuk diferensial, ini memberikan hukum kedua Newton: laju perubahan momentum partikel adalah sama dengan gaya F yang bekerja padanya: [1]

Jika gaya tergantung pada waktu, perubahan momentum (atau dorongan) antara waktu t1 dan t2 adalah

Hukum kedua hanya berlaku untuk partikel yang tidak bertukar materi dengan lingkungannya, [4] dan sehingga setara dengan menulis

sehingga gaya adalah sama dengan massa kali percepatan. [1]

Contoh: sebuah pesawat model 1 kg mampu berakselerasi dari posisi diam ke kecepatan 6 m / s ke utara dalam 2 s. Dorongan yang dibutuhkan untuk menghasilkan percepatan ini adalah 3 newton. Perubahan momentum adalah 6 kg m / s. Laju perubahan momentum adalah 3 (kg m / s) / s = 3 N.

KONSERVASI

Cradle A Newton menunjukkan kekekalan momentum.

Dalam sistem tertutup (salah satu yang tidak bertukar masalah apapun dengan dunia luar dan tidak bertindak dengan kekuatan luar) momentum total konstan. Fakta ini, yang dikenal sebagai hukum kekekalan momentum, tersirat oleh hukum Newton tentang gerak. [5] Anggaplah, misalnya, bahwa dua partikel berinteraksi. Karena hukum ketiga, kekuatan antara mereka adalah sama dan berlawanan. Jika partikel diberi nomor 1 dan 2, hukum kedua menyatakan bahwa F1 = dp1/dt dan F2 = dp2/dt. Oleh karena itu

 

atau

Jika kecepatan partikel adalah u1 dan u2 sebelum interaksi, dan setelah itu mereka v1 dan v2, maka

Hukum ini berlaku tidak peduli seberapa rumit gaya adalah antara partikel. Demikian pula, jika ada beberapa partikel, momentum dipertukarkan antara setiap pasangan partikel menambahkan hingga nol, sehingga total perubahan dalam momentum adalah nol. Hukum kekekalan ini berlaku untuk semua interaksi, termasuk tabrakan dan pemisahan yang disebabkan oleh kekuatan ledakan. [5] Hal ini juga dapat digeneralisasi untuk situasi di mana hukum Newton tidak tahan, misalnya dalam teori relativitas dan elektrodinamika. [6]

KETERGANTUNGAN PADA KERANGKA ACUAN

Momentum adalah besaran terukur, dan pengukuran tergantung pada gerak pengamat. Sebagai contoh, jika sebuah apel duduk di lift kaca yang turun, seorang pengamat luar melihat ke dalam lift melihat bergerak apple, sehingga untuk pengamat bahwa apel memiliki momentum nol. Untuk seseorang di dalam lift, apel tidak bergerak, sehingga memiliki momentum nol. Kedua pengamat masing-masing memiliki kerangka acuan di mana mereka mengamati gerakan, dan jika lift yang turun terus mereka akan melihat perilaku yang konsisten dengan hukum-hukum fisika yang sama.

Misalkan sebuah partikel memiliki posisi x dalam kerangka acuan stasioner. Dari sudut pandang kerangka acuan lain yang bergerak dengan kecepatan seragam u, posisi (diwakili oleh prima koordinat) berubah dengan waktu sebagai

 

Ini disebut transformasi Galilean. Jika partikel bergerak dengan kecepatan dx / dt = v di frame pertama dari referensi, di kedua itu bergerak dengan kecepatan

Karena u tidak berubah, percepatan adalah sama:

Dengan demikian, momentum adalah kekal di kedua kerangka acuan. Selain itu, selama gaya memiliki bentuk yang sama di kedua frame, hukum kedua Newton tidak berubah. Pasukan seperti gravitasi Newton, yang hanya tergantung pada jarak antara objek skalar, memenuhi kriteria ini. Ini kemandirian kerangka acuan disebut relativitas Newtonian atau invarian Galilea. [7]

Perubahan kerangka acuan sering dapat menyederhanakan perhitungan gerak. Sebagai contoh, dalam sebuah tabrakan dua partikel kerangka acuan dapat dipilih mana satu partikel dimulai saat istirahat. Lain kerangka acuan umum digunakan adalah tengah frame massa, salah satu yang bergerak dengan pusat massa. Dalam kerangka ini, momentum total nol.

APLIKASI UNTUK TABRAKAN

Dengan sendirinya, hukum kekekalan momentum tidak cukup untuk menentukan gerakan partikel setelah tabrakan. Properti lain gerak, energi kinetik, harus diketahui. Hal ini belum tentu kekal. Jika dilestarikan, tumbukan disebut tumbukan elastis, jika tidak, itu adalah tabrakan inelastis.

TABRAKAN ELASTIS

Tum bukan elastis dari massa yang sama

Tumbukan elastis dari massa yang tidak seimbang

Tumbukan elastis adalah satu di mana tidak ada energi kinetik yang hilang. Elastis sempurna "tabrakan" bisa terjadi ketika benda-benda tidak saling menyentuh, seperti misalnya dalam hamburan atom atau nuklir di mana tolakan listrik membuat mereka terpisah. Sebuah manuver katapel dari satelit di seluruh planet juga dapat dilihat sebagai tabrakan elastis sempurna dari kejauhan. Sebuah tabrakan antara dua kolam bola adalah contoh yang baik dari sebuah tabrakan hampir sepenuhnya elastis, karena kekakuan tinggi mereka,. Tetapi ketika tubuh datang dalam kontak selalu ada beberapa disipasi [8]

Sebuah tabrakan elastis kepala-on antara dua benda dapat diwakili oleh kecepatan dalam satu dimensi, sepanjang garis yang melewati tubuh. Jika kecepatan u1 dan u2 sebelum tabrakan dan v1 dan v2 setelah itu, persamaan mengekspresikan kekekalan momentum dan energi kinetik adalah:

Perubahan kerangka acuan sering dapat menyederhanakan analisis tabrakan. Misalnya, ada dua badan yang sama massa m, satu stasioner dan satu mendekati yang lain pada kecepatan v (seperti pada gambar). Pusat massa bergerak dengan kecepatan v / 2 dan kedua tubuh sedang bergerak ke arah itu dengan kecepatan v / 2. Karena simetri, setelah tumbukan keduanya harus bergerak menjauh dari pusat massa dengan kecepatan yang sama. Menambahkan kecepatan pusat massa untuk kedua, kita menemukan bahwa tubuh yang bergerak sekarang dihentikan dan yang lainnya bergerak menjauh dengan kecepatan v Mayat telah bertukar kecepatan mereka. Terlepas dari kecepatan dari tubuh, beralih ke tengah frame massa membawa kita pada kesimpulan yang sama. Oleh karena itu, kecepatan akhir yang diberikan oleh [5]

Secara umum, ketika kecepatan awal diketahui, kecepatan akhir yang diberikan oleh [9]

Jika satu tubuh memiliki massa jauh lebih besar dari yang lain, kecepatannya akan sedikit terpengaruh oleh tabrakan sementara tubuh lainnya akan mengalami perubahan besar.

TUMBUKAN INELASTIS

tabrakan inelastis sempurna antara massa yang sama

Dalam tabrakan inelastis, sebagian energi kinetik dari tubuh bertabrakan diubah menjadi bentuk energi lainnya seperti panas atau suara. Contohnya termasuk tabrakan lalu lintas, [10] di mana efek dari energi kinetik yang hilang dapat dilihat dalam kerusakan pada kendaraan, elektron kehilangan sebagian energi mereka ke atom (seperti dalam eksperimen Franck-Hertz); [11] dan akselerator partikel di mana energi kinetik diubah menjadi massa dalam bentuk partikel baru.

Dalam tabrakan inelastis sempurna (seperti bug memukul kaca depan), kedua tubuh memiliki gerakan yang sama setelah itu. Jika salah satu tubuh bergerak untuk memulai dengan, persamaan untuk konservasi momentum adalah

 

jadi

Dalam kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan v), benda-benda yang dibawa untuk beristirahat oleh tabrakan dan 100% dari energi kinetik diubah.

Salah satu ukuran dari sifat kaku tumbukan adalah koefisien restitusi CR, yang didefinisikan sebagai rasio kecepatan relatif pemisahan terhadap kecepatan relatif pendekatan. Dalam menerapkan ukuran ini untuk olahraga bola, ini dapat dengan mudah diukur dengan menggunakan rumus berikut: [12]

Momentum dan energi persamaan juga berlaku untuk gerakan benda-benda yang dimulai bersama-sama dan kemudian bergerak terpisah. Sebagai contoh, sebuah ledakan adalah hasil dari reaksi berantai yang mengubah energi potensial yang tersimpan dalam kimia, mekanik, atau bentuk nuklir menjadi energi kinetik, energi akustik, dan radiasi elektromagnetik. Rockets juga memanfaatkan kekekalan momentum: propelan yang dorong ke luar, mendapatkan momentum, dan momentum yang sama dan berlawanan yang diberikan kepada roket [13].

BEBERAPA DIMENSI

Tumbukan elastis dua dimensi. Tidak ada gerakan tegak lurus dengan gambar, sehingga hanya dua komponen yang diperlukan untuk mewakili kecepatan dan momentum. Dua vektor biru mewakili kecepatan setelah tumbukan dan menambahkan vectorially untuk mendapatkan awal (red) kecepatan.

Gerak nyata memiliki kedua arah dan besarnya dan harus diwakili oleh vektor. Dalam sistem koordinat dengan x, y, z sumbu, kecepatan memiliki komponen vx dalam arah x, vy dalam arah y, vz ke arah z. Vektor diwakili oleh simbol huruf tebal: [14]

Demikian pula, momentum adalah besaran vektor dan diwakili oleh simbol huruf tebal:

Persamaan di bagian sebelumnya bekerja dalam bentuk vektor jika skalar p dan v diganti dengan vektor p dan v Setiap persamaan vektor mewakili tiga persamaan skalar. Sebagai contoh,

mewakili tiga persamaan: [14]

Persamaan energi kinetik pengecualian untuk penggantian aturan di atas. Persamaan yang masih satu dimensi, tetapi setiap skalar mewakili besarnya vektor, misalnya,

Setiap persamaan vektor mewakili tiga persamaan skalar. Seringkali koordinat dapat dipilih sehingga hanya dua komponen yang dibutuhkan, seperti pada gambar. Masing-masing komponen dapat diperoleh secara terpisah dan hasilnya dikombinasikan untuk menghasilkan hasil vektor. [14]

Sebuah konstruksi sederhana yang melibatkan tengah frame massa dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa jika sebuah bola elastis stasioner dipukul oleh bola bergerak, kedua akan menghadang di sudut kanan setelah tumbukan (seperti pada gambar). [15]

OBJEK MASSA VARIABEL

Konsep momentum memainkan peranan penting dalam menjelaskan perilaku benda variabel-massal seperti roket bahan bakar mendepak atau gas accreting bintang. Dalam menganalisis sebuah objek, seseorang memperlakukan massa benda sebagai fungsi yang bervariasi dengan waktu: m (t). Oleh karena itu, momentum benda pada saat t adalah p (t) = m (t) v (t). Satu kemudian mungkin mencoba untuk memanggil hukum kedua Newton tentang gerak dengan mengatakan bahwa kekuatan eksternal F pada benda tersebut terkait dengan momentum p nya (t) oleh F = dp / dt, tetapi ini tidak benar, seperti ungkapan terkait ditemukan dengan menerapkan aturan produk untuk d (mv) / dt: [16]

Persamaan ini tidak benar menggambarkan gerak benda-variabel massa. Persamaan yang benar adalah

dimana u adalah kecepatan dikeluarkan / bertambah massa seperti yang terlihat dalam objek bingkai istirahat. [16] Hal ini berbeda dari v, yang merupakan kecepatan dari obyek itu sendiri seperti yang terlihat dalam kerangka inersia.

Persamaan ini diperoleh dengan melacak kedua momentum objek serta momentum dikeluarkan / bertambah massa. Bila dianggap bersama-sama, objek dan massa merupakan sistem tertutup di mana momentum total dilestarikan.

KOORDINAT GENERALIZED

Hukum Newton bisa sulit untuk diterapkan ke berbagai jenis gerak karena gerakan dibatasi oleh kendala. Misalnya, manik-manik pada sempoa dibatasi untuk bergerak sepanjang kawat dan bob pendulum dibatasi untuk ayunan pada jarak tetap dari poros. Banyak kendala tersebut dapat digabungkan dengan mengubah koordinat Cartesian normal satu set koordinat umum yang mungkin jumlahnya lebih sedikit. [17] metode matematika Refined telah dikembangkan untuk memecahkan masalah mekanik di koordinat umum. Mereka memperkenalkan momentum umum, juga dikenal sebagai momentum kanonik atau konjugasi, yang memperluas konsep dari kedua momentum linear dan momentum sudut. Untuk membedakannya dari momentum umum, produk dari massa dan kecepatan juga disebut sebagai momentum mekanik, kinetik atau kinematik. [6] [18] [19] Dua metode utama yang dijelaskan di bawah ini.

Mekanika Lagrangian

Dalam mekanika Lagrangian, Lagrangian didefinisikan sebagai perbedaan antara T energi kinetik dan energi potensial V:

Jika koordinat umum direpresentasikan sebagai vektor q = (q1, q2, ..., QN) dan diferensiasi waktu diwakili oleh sebuah titik di atas variabel, maka persamaan gerak (dikenal sebagai persamaan Lagrange atau Euler-Lagrange) adalah seperangkat persamaan N: [20]

Jika koordinat qi bukan koordinat Cartesian, terkait momentum umum komponen pi tidak selalu memiliki dimensi momentum linear. Bahkan jika qi adalah koordinat Cartesian, pi tidak akan sama dengan momentum mekanik jika potensi tergantung pada kecepatan. [6] Beberapa sumber mewakili momentum kinematik dengan simbol Π. [21]

Dalam kerangka matematis ini, momentum umum dikaitkan dengan koordinat umum. Komponennya didefinisikan sebagai

Setiap komponen pj dikatakan momentum konjugasi untuk koordinat qj.

Sekarang jika diberikan koordinat qi tidak muncul dalam Lagrangian (meskipun waktu turunannya mungkin muncul), kemudian

Ini adalah generalisasi dari kekekalan momentum. [6]

Bahkan jika koordinat umum hanya koordinat spasial biasa, momentum konjugasi belum tentu momentum biasa koordinat. Contoh ditemukan pada bagian elektromagnetisme.

MEKANIKA HAMILTONIAN

Dalam mekanika Hamiltonian, Lagrangian (fungsi dari koordinat umum dan turunannya) digantikan oleh Hamiltonian yang merupakan fungsi dari koordinat umum dan momentum. Hamiltonian didefinisikan sebagai

di mana momentum diperoleh dengan membedakan Lagrangian seperti di atas. Persamaan Hamiltonian gerak adalah [22]

b

Seperti dalam mekanika Lagrangian, jika koordinat umum tidak muncul dalam Hamiltonian, komponen momentum konjugat yang kekal. [23]

Simetri dan konservasi

Konservasi momentum merupakan konsekuensi matematis dari homogenitas (shift simetri) ruang (posisi dalam ruang adalah jumlah konjugat kanonik untuk momentum). Artinya, konservasi momentum merupakan konsekuensi dari kenyataan bahwa hukum fisika tidak bergantung pada posisi, ini adalah kasus khusus dari teorema Noether [24].

MEKANIKA RELATIVISTIK

Fisika Newton mengasumsikan bahwa waktu mutlak dan ruang ada di luar pengamat apapun, ini menimbulkan invariance Galilea dijelaskan sebelumnya. Hal ini juga menghasilkan prediksi bahwa kecepatan cahaya dapat bervariasi dari satu kerangka acuan yang lain. Hal ini bertentangan dengan observasi. Dalam teori relativitas khusus, Einstein membuat postulat bahwa persamaan gerak tidak tergantung pada kerangka acuan, tetapi mengasumsikan bahwa kecepatan cahaya c adalah invarian. Akibatnya, posisi dan waktu dalam dua frame referensi terkait dengan transformasi Lorentz bukan transformasi Galilea. [25]

Perhatikan, misalnya, kerangka acuan yang bergerak relatif terhadap yang lain pada kecepatan v dalam arah x. Transformasi Galilean memberikan koordinat frame bergerak sebagai

sedangkan transformasi Lorentz memberikan [26]

dimana γ adalah faktor Lorentz:

Hukum kedua Newton, dengan massa tetap, tidak berubah dalam transformasi Lorentz. Namun, dapat dibuat dengan membuat invarian massa m inersia suatu benda fungsi kecepatan:

m0 adalah massa invarian objek. [27]

Momentum yang dimodifikasi,

mematuhi hukum kedua Newton:

Dalam domain mekanika klasik, momentum relativistik erat mendekati momentum Newton: pada kecepatan yang rendah, γm0v kira-kira sama dengan m0v, ekspresi Newtonian untuk momentum.

FORMULASI EMPAT-VEKTOR

Dalam teori relativitas, kuantitas fisik yang dinyatakan dalam empat-vektor yang mencakup waktu sebagai keempat berkoordinasi bersama dengan tiga koordinat ruang. Vektor ini umumnya diwakili oleh huruf kapital, misalnya R untuk posisi. Ekspresi untuk empat momentum tergantung pada bagaimana koordinat ditunjukkan. Waktu dapat diberikan dalam satuan normal atau dikalikan dengan kecepatan cahaya sehingga semua komponen dari empat vektor memiliki dimensi panjang. Jika skala yang terakhir digunakan, selang waktu yang tepat, τ, didefinisikan oleh [28]

adalah invarian dalam transformasi Lorentz (dalam ekspresi ini dan apa yang mengikuti (+ ---) metrik tanda tangan telah digunakan, penulis yang berbeda menggunakan konvensi yang berbeda). Secara matematis invarian ini dapat dipastikan dalam satu dari dua cara: dengan memperlakukan empat vektor vektor sebagai Euclidean dan mengalikan waktu dengan akar kuadrat dari -1, atau dengan menjaga waktu kuantitas nyata dan embedding vektor dalam ruang Minkowski [29. ] Dalam ruang Minkowski, produk skalar dari dua empat vektor U = (U0, U1, U2, U3) dan V = (V0, V1, V2, V3) didefinisikan sebagai

Dalam semua koordinat sistem, (contravariant) relativistik empat kecepatan didefinisikan oleh

dan (contravariant) empat momentum adalah

mana m0 adalah massa invarian. Jika R = (ct, x, y, z) (dalam ruang Minkowski), maka [catatan 1]

Menggunakan massa-energi kesetaraan Einstein, E = mc2, ini dapat ditulis kembali sebagai

Dengan demikian, konservasi empat momentum adalah Lorentz-invariant dan menyiratkan konservasi dari kedua massa dan energi.

Besarnya momentum empat vektor sama dengan m0c:

dan invarian di semua kerangka acuan.

The relativistik hubungan energi-momentum berlaku bahkan untuk partikel tak bermassa seperti foton, dengan menetapkan m0 = 0 maka bahwa

Dalam permainan relativistik "biliar", jika partikel stasioner terkena partikel yang bergerak dalam tumbukan elastis, jalur yang dibentuk oleh dua kemudian akan membentuk sudut akut. Ini tidak seperti kasus non-relativistik di mana mereka melakukan perjalanan di sudut kanan. [30]