MOMENTUM
Dalam
mekanika klasik, momentum linear atau momentum translasi (gb. momentum; Satuan
SI kg m / s, atau ekuivalen, N s) adalah produk dari massa dan kecepatan suatu
benda. Sebagai contoh, sebuah truk berat bergerak cepat memiliki momentum-itu besar
dibutuhkan tenaga yang besar dan panjang untuk mendapatkan truk sampai dengan
kecepatan ini, dan dibutuhkan tenaga yang besar dan berkepanjangan untuk
membawanya berhenti setelah itu. Jika truk yang lebih ringan, atau bergerak
lebih lambat, maka akan memiliki momentum kurang.
Seperti
kecepatan, momentum linear adalah besaran vektor, memiliki arah serta besarnya:
Momentum
linear juga merupakan kuantitas kekal, yang berarti bahwa jika sistem tertutup
tidak terpengaruh oleh kekuatan eksternal, momentum linear jumlah yang tidak
bisa berubah. Dalam mekanika klasik, kekekalan momentum linear yang tersirat
oleh hukum Newton, tetapi juga berlaku dalam relativitas khusus (dengan formula
yang dimodifikasi) dan, dengan definisi yang tepat, sebuah (umum) linear hukum
kekekalan momentum berlaku dalam elektrodinamika, mekanika kuantum, medan
kuantum teori, dan relativitas umum.
Mekanika
Newton
Momentum
memiliki arah serta besarnya. Kuantitas yang memiliki kedua besar dan arah yang
dikenal sebagai jumlah vektor. Karena momentum memiliki arah, dapat digunakan
untuk memprediksi arah yang dihasilkan benda setelah mereka bertabrakan, serta
kecepatan mereka. Di bawah, sifat dasar momentum dijelaskan dalam satu dimensi.
Persamaan vektor hampir identik dengan persamaan skalar (lihat beberapa
dimensi).
PARTIKEL TUNGGAL
Momentum
partikel secara tradisional diwakili oleh huruf p. Ini adalah produk dari dua
kuantitas, massa (diwakili oleh huruf m) dan kecepatan (v): [1]
p = m v
Satuan
momentum adalah produk dari unit massa dan kecepatan. Dalam satuan SI,
jika massa dalam kilogram dan kecepatan dalam meter per detik, maka momentum
tersebut dalam kilogram meter / detik (kg m / s). Menjadi vektor, momentum
memiliki besar dan arah. Sebagai contoh, sebuah pesawat model 1 kg, bepergian
ke utara pada 1 m / s dalam lurus dan tingkat penerbangan, memiliki momentum
dari 1 kg m / s ke utara diukur dari tanah.
BANYAK PARTIKEL
Momentum
sistem partikel adalah jumlah dari momentum mereka. Jika dua partikel memiliki
massa m1 dan m2, dan kecepatan v1 dan v2, momentum total
Momentum
lebih dari dua partikel dapat ditambahkan dengan cara yang sama.
Sebuah
sistem partikel memiliki pusat massa, titik ditentukan oleh jumlah tertimbang
dari posisi mereka:
Jika
semua partikel bergerak, pusat massa pada umumnya akan bergerak juga. Jika
pusat massa bergerak dengan kecepatan v cm,
momentum adalah:
Hal
ini dikenal sebagai hukum pertama Euler. [2] [3]
KAITANNYA DENGAN KEKUATAN
Jika
gaya F diterapkan untuk partikel untuk interval waktu At, momentum perubahan
partikel dengan jumlah yang
Dalam
bentuk diferensial, ini memberikan hukum kedua Newton: laju perubahan momentum
partikel adalah sama dengan gaya F yang bekerja padanya: [1]
Jika
gaya tergantung pada waktu, perubahan momentum (atau dorongan) antara waktu t1
dan t2 adalah
Hukum
kedua hanya berlaku untuk partikel yang tidak bertukar materi dengan
lingkungannya, [4] dan sehingga setara dengan menulis
sehingga
gaya adalah sama dengan massa kali percepatan. [1]
Contoh:
sebuah pesawat model 1 kg mampu berakselerasi dari posisi diam ke kecepatan 6 m
/ s ke utara dalam 2 s. Dorongan yang dibutuhkan untuk menghasilkan percepatan
ini adalah 3 newton. Perubahan momentum adalah 6 kg m / s. Laju perubahan
momentum adalah 3 (kg m / s) / s = 3 N.
KONSERVASI
Cradle
A Newton menunjukkan kekekalan momentum.
Dalam
sistem tertutup (salah satu yang tidak bertukar masalah apapun dengan dunia
luar dan tidak bertindak dengan kekuatan luar) momentum total konstan. Fakta
ini, yang dikenal sebagai hukum kekekalan momentum, tersirat oleh hukum Newton
tentang gerak. [5] Anggaplah, misalnya, bahwa dua partikel berinteraksi. Karena
hukum ketiga, kekuatan antara mereka adalah sama dan berlawanan. Jika partikel
diberi nomor 1 dan 2, hukum kedua menyatakan bahwa F1 = dp1/dt dan F2 = dp2/dt.
Oleh karena itu
atau
Jika
kecepatan partikel adalah u1 dan u2 sebelum interaksi, dan setelah itu mereka
v1 dan v2, maka
Hukum
ini berlaku tidak peduli seberapa rumit gaya adalah antara partikel. Demikian
pula, jika ada beberapa partikel, momentum dipertukarkan antara setiap pasangan
partikel menambahkan hingga nol, sehingga total perubahan dalam momentum adalah
nol. Hukum kekekalan ini berlaku untuk semua interaksi, termasuk tabrakan dan
pemisahan yang disebabkan oleh kekuatan ledakan. [5] Hal ini juga dapat
digeneralisasi untuk situasi di mana hukum Newton tidak tahan, misalnya dalam
teori relativitas dan elektrodinamika. [6]
KETERGANTUNGAN PADA KERANGKA ACUAN
Momentum
adalah besaran terukur, dan pengukuran tergantung pada gerak pengamat. Sebagai
contoh, jika sebuah apel duduk di lift kaca yang turun, seorang pengamat luar
melihat ke dalam lift melihat bergerak apple, sehingga untuk pengamat bahwa
apel memiliki momentum nol. Untuk seseorang di dalam lift, apel tidak bergerak,
sehingga memiliki momentum nol. Kedua pengamat masing-masing memiliki kerangka
acuan di mana mereka mengamati gerakan, dan jika lift yang turun terus mereka
akan melihat perilaku yang konsisten dengan hukum-hukum fisika yang sama.
Misalkan
sebuah partikel memiliki posisi x dalam kerangka acuan stasioner. Dari sudut
pandang kerangka acuan lain yang bergerak dengan kecepatan seragam u, posisi
(diwakili oleh prima koordinat) berubah dengan waktu sebagai
Ini
disebut transformasi Galilean. Jika partikel bergerak dengan kecepatan dx / dt
= v di frame pertama dari referensi, di kedua itu bergerak dengan kecepatan
Karena
u tidak berubah, percepatan adalah sama:
Dengan
demikian, momentum adalah kekal di kedua kerangka acuan. Selain itu, selama
gaya memiliki bentuk yang sama di kedua frame, hukum kedua Newton tidak
berubah. Pasukan seperti gravitasi Newton, yang hanya tergantung pada jarak
antara objek skalar, memenuhi kriteria ini. Ini kemandirian kerangka acuan
disebut relativitas Newtonian atau invarian Galilea. [7]
Perubahan
kerangka acuan sering dapat menyederhanakan perhitungan gerak. Sebagai contoh,
dalam sebuah tabrakan dua partikel kerangka acuan dapat dipilih mana satu
partikel dimulai saat istirahat. Lain kerangka acuan umum digunakan adalah
tengah frame massa, salah satu yang bergerak dengan pusat massa. Dalam kerangka
ini, momentum total nol.
APLIKASI UNTUK TABRAKAN
Dengan
sendirinya, hukum kekekalan momentum tidak cukup untuk menentukan gerakan
partikel setelah tabrakan. Properti lain gerak, energi kinetik, harus
diketahui. Hal ini belum tentu kekal. Jika dilestarikan, tumbukan disebut
tumbukan elastis, jika tidak, itu adalah tabrakan inelastis.
TABRAKAN ELASTIS
Tum
bukan elastis dari massa yang sama
Tumbukan
elastis dari massa yang tidak seimbang
Tumbukan
elastis adalah satu di mana tidak ada energi kinetik yang hilang. Elastis
sempurna "tabrakan" bisa terjadi ketika benda-benda tidak saling
menyentuh, seperti misalnya dalam hamburan atom atau nuklir di mana tolakan
listrik membuat mereka terpisah. Sebuah manuver katapel dari satelit di seluruh
planet juga dapat dilihat sebagai tabrakan elastis sempurna dari kejauhan.
Sebuah tabrakan antara dua kolam bola adalah contoh yang baik dari sebuah
tabrakan hampir sepenuhnya elastis, karena kekakuan tinggi mereka,. Tetapi
ketika tubuh datang dalam kontak selalu ada beberapa disipasi [8]
Sebuah
tabrakan elastis kepala-on antara dua benda dapat diwakili oleh kecepatan dalam
satu dimensi, sepanjang garis yang melewati tubuh. Jika kecepatan u1 dan u2
sebelum tabrakan dan v1 dan v2 setelah itu, persamaan mengekspresikan kekekalan
momentum dan energi kinetik adalah:
Perubahan
kerangka acuan sering dapat menyederhanakan analisis tabrakan. Misalnya, ada
dua badan yang sama massa m, satu stasioner dan satu mendekati yang lain pada
kecepatan v (seperti pada gambar). Pusat massa bergerak dengan kecepatan v / 2
dan kedua tubuh sedang bergerak ke arah itu dengan kecepatan v / 2. Karena
simetri, setelah tumbukan keduanya harus bergerak menjauh dari pusat massa
dengan kecepatan yang sama. Menambahkan kecepatan pusat massa untuk kedua, kita
menemukan bahwa tubuh yang bergerak sekarang dihentikan dan yang lainnya
bergerak menjauh dengan kecepatan v Mayat telah bertukar kecepatan mereka.
Terlepas dari kecepatan dari tubuh, beralih ke tengah frame massa membawa kita
pada kesimpulan yang sama. Oleh karena itu, kecepatan akhir yang diberikan oleh
[5]
Secara
umum, ketika kecepatan awal diketahui, kecepatan akhir yang diberikan oleh [9]
Jika
satu tubuh memiliki massa jauh lebih besar dari yang lain, kecepatannya akan
sedikit terpengaruh oleh tabrakan sementara tubuh lainnya akan mengalami
perubahan besar.
TUMBUKAN INELASTIS
tabrakan
inelastis sempurna antara massa yang sama
Dalam
tabrakan inelastis, sebagian energi kinetik dari tubuh bertabrakan diubah
menjadi bentuk energi lainnya seperti panas atau suara. Contohnya termasuk
tabrakan lalu lintas, [10] di mana efek dari energi kinetik yang hilang dapat
dilihat dalam kerusakan pada kendaraan, elektron kehilangan sebagian energi
mereka ke atom (seperti dalam eksperimen Franck-Hertz); [11] dan akselerator
partikel di mana energi kinetik diubah menjadi massa dalam bentuk partikel
baru.
Dalam
tabrakan inelastis sempurna (seperti bug memukul kaca depan), kedua tubuh
memiliki gerakan yang sama setelah itu. Jika salah satu tubuh bergerak untuk
memulai dengan, persamaan untuk konservasi momentum adalah
jadi
Dalam
kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan v), benda-benda yang dibawa untuk
beristirahat oleh tabrakan dan 100% dari energi kinetik diubah.
Salah
satu ukuran dari sifat kaku tumbukan adalah koefisien restitusi CR, yang
didefinisikan sebagai rasio kecepatan relatif pemisahan terhadap kecepatan
relatif pendekatan. Dalam menerapkan ukuran ini untuk olahraga bola, ini dapat
dengan mudah diukur dengan menggunakan rumus berikut: [12]
Momentum
dan energi persamaan juga berlaku untuk gerakan benda-benda yang dimulai
bersama-sama dan kemudian bergerak terpisah. Sebagai contoh, sebuah ledakan
adalah hasil dari reaksi berantai yang mengubah energi potensial yang tersimpan
dalam kimia, mekanik, atau bentuk nuklir menjadi energi kinetik, energi akustik,
dan radiasi elektromagnetik. Rockets juga memanfaatkan kekekalan momentum:
propelan yang dorong ke luar, mendapatkan momentum, dan momentum yang sama dan
berlawanan yang diberikan kepada roket [13].
BEBERAPA
DIMENSI
Tumbukan
elastis dua dimensi. Tidak ada gerakan tegak lurus dengan gambar, sehingga
hanya dua komponen yang diperlukan untuk mewakili kecepatan dan momentum. Dua
vektor biru mewakili kecepatan setelah tumbukan dan menambahkan vectorially
untuk mendapatkan awal (red) kecepatan.
Gerak
nyata memiliki kedua arah dan besarnya dan harus diwakili oleh vektor. Dalam
sistem koordinat dengan x, y, z sumbu, kecepatan memiliki komponen vx dalam
arah x, vy dalam arah y, vz ke arah z. Vektor diwakili oleh simbol huruf tebal:
[14]
Demikian
pula, momentum adalah besaran vektor dan diwakili oleh simbol huruf tebal:
Persamaan
di bagian sebelumnya bekerja dalam bentuk vektor jika skalar p dan v diganti
dengan vektor p dan v Setiap persamaan vektor mewakili tiga persamaan skalar.
Sebagai contoh,
mewakili
tiga persamaan: [14]
Persamaan
energi kinetik pengecualian untuk penggantian aturan di atas. Persamaan yang
masih satu dimensi, tetapi setiap skalar mewakili besarnya vektor, misalnya,
Setiap
persamaan vektor mewakili tiga persamaan skalar. Seringkali koordinat dapat
dipilih sehingga hanya dua komponen yang dibutuhkan, seperti pada gambar.
Masing-masing komponen dapat diperoleh secara terpisah dan hasilnya
dikombinasikan untuk menghasilkan hasil vektor. [14]
Sebuah
konstruksi sederhana yang melibatkan tengah frame massa dapat digunakan untuk
menunjukkan bahwa jika sebuah bola elastis stasioner dipukul oleh bola
bergerak, kedua akan menghadang di sudut kanan setelah tumbukan (seperti pada
gambar). [15]
OBJEK MASSA VARIABEL
Konsep
momentum memainkan peranan penting dalam menjelaskan perilaku benda
variabel-massal seperti roket bahan bakar mendepak atau gas accreting bintang.
Dalam menganalisis sebuah objek, seseorang memperlakukan massa benda sebagai
fungsi yang bervariasi dengan waktu: m (t). Oleh karena itu, momentum benda
pada saat t adalah p (t) = m (t) v (t). Satu kemudian mungkin mencoba untuk
memanggil hukum kedua Newton tentang gerak dengan mengatakan bahwa kekuatan
eksternal F pada benda tersebut terkait dengan momentum p nya (t) oleh F = dp /
dt, tetapi ini tidak benar, seperti ungkapan terkait ditemukan dengan
menerapkan aturan produk untuk d (mv) / dt: [16]
Persamaan
ini tidak benar menggambarkan gerak benda-variabel massa. Persamaan yang benar
adalah
dimana
u adalah kecepatan dikeluarkan / bertambah massa seperti yang terlihat dalam
objek bingkai istirahat. [16] Hal ini berbeda dari v, yang merupakan kecepatan
dari obyek itu sendiri seperti yang terlihat dalam kerangka inersia.
Persamaan
ini diperoleh dengan melacak kedua momentum objek serta momentum dikeluarkan /
bertambah massa. Bila dianggap bersama-sama, objek dan massa merupakan sistem
tertutup di mana momentum total dilestarikan.
KOORDINAT GENERALIZED
Hukum
Newton bisa sulit untuk diterapkan ke berbagai jenis gerak karena gerakan
dibatasi oleh kendala. Misalnya, manik-manik pada sempoa dibatasi untuk
bergerak sepanjang kawat dan bob pendulum dibatasi untuk ayunan pada jarak
tetap dari poros. Banyak kendala tersebut dapat digabungkan dengan mengubah
koordinat Cartesian normal satu set koordinat umum yang mungkin jumlahnya lebih
sedikit. [17] metode matematika Refined telah dikembangkan untuk memecahkan
masalah mekanik di koordinat umum. Mereka memperkenalkan momentum umum, juga
dikenal sebagai momentum kanonik atau konjugasi, yang memperluas konsep dari
kedua momentum linear dan momentum sudut. Untuk membedakannya dari momentum
umum, produk dari massa dan kecepatan juga disebut sebagai momentum mekanik,
kinetik atau kinematik. [6] [18] [19] Dua metode utama yang dijelaskan di bawah
ini.
Mekanika
Lagrangian
Dalam
mekanika Lagrangian, Lagrangian didefinisikan sebagai perbedaan antara T energi
kinetik dan energi potensial V:
Jika
koordinat umum direpresentasikan sebagai vektor q = (q1, q2, ..., QN) dan
diferensiasi waktu diwakili oleh sebuah titik di atas variabel, maka persamaan
gerak (dikenal sebagai persamaan Lagrange atau Euler-Lagrange) adalah
seperangkat persamaan N: [20]
Jika
koordinat qi bukan koordinat Cartesian, terkait momentum umum komponen pi tidak
selalu memiliki dimensi momentum linear. Bahkan jika qi adalah koordinat
Cartesian, pi tidak akan sama dengan momentum mekanik jika potensi tergantung
pada kecepatan. [6] Beberapa sumber mewakili momentum kinematik dengan simbol
Î . [21]
Dalam
kerangka matematis ini, momentum umum dikaitkan dengan koordinat umum.
Komponennya didefinisikan sebagai
Setiap
komponen pj dikatakan momentum konjugasi untuk koordinat qj.
Sekarang
jika diberikan koordinat qi tidak muncul dalam Lagrangian (meskipun waktu
turunannya mungkin muncul), kemudian
Ini
adalah generalisasi dari kekekalan momentum. [6]
Bahkan
jika koordinat umum hanya koordinat spasial biasa, momentum konjugasi belum
tentu momentum biasa koordinat. Contoh ditemukan pada bagian elektromagnetisme.
MEKANIKA HAMILTONIAN
Dalam
mekanika Hamiltonian, Lagrangian (fungsi dari koordinat umum dan turunannya)
digantikan oleh Hamiltonian yang merupakan fungsi dari koordinat umum dan
momentum. Hamiltonian didefinisikan sebagai
di
mana momentum diperoleh dengan membedakan Lagrangian seperti di atas. Persamaan
Hamiltonian gerak adalah [22]
b
Seperti
dalam mekanika Lagrangian, jika koordinat umum tidak muncul dalam Hamiltonian,
komponen momentum konjugat yang kekal. [23]
Simetri
dan konservasi
Konservasi
momentum merupakan konsekuensi matematis dari homogenitas (shift simetri) ruang
(posisi dalam ruang adalah jumlah konjugat kanonik untuk momentum). Artinya,
konservasi momentum merupakan konsekuensi dari kenyataan bahwa hukum fisika
tidak bergantung pada posisi, ini adalah kasus khusus dari teorema Noether
[24].
MEKANIKA RELATIVISTIK
Fisika
Newton mengasumsikan bahwa waktu mutlak dan ruang ada di luar pengamat apapun,
ini menimbulkan invariance Galilea dijelaskan sebelumnya. Hal ini juga
menghasilkan prediksi bahwa kecepatan cahaya dapat bervariasi dari satu
kerangka acuan yang lain. Hal ini bertentangan dengan observasi. Dalam teori
relativitas khusus, Einstein membuat postulat bahwa persamaan gerak tidak
tergantung pada kerangka acuan, tetapi mengasumsikan bahwa kecepatan cahaya c
adalah invarian. Akibatnya, posisi dan waktu dalam dua frame referensi terkait
dengan transformasi Lorentz bukan transformasi Galilea. [25]
Perhatikan,
misalnya, kerangka acuan yang bergerak relatif terhadap yang lain pada
kecepatan v dalam arah x. Transformasi Galilean memberikan koordinat frame
bergerak sebagai
sedangkan
transformasi Lorentz memberikan [26]
dimana
γ adalah faktor Lorentz:
Hukum
kedua Newton, dengan massa tetap, tidak berubah dalam transformasi Lorentz.
Namun, dapat dibuat dengan membuat invarian massa m inersia suatu benda fungsi
kecepatan:
m0
adalah massa invarian objek. [27]
Momentum
yang dimodifikasi,
mematuhi
hukum kedua Newton:
Dalam
domain mekanika klasik, momentum relativistik erat mendekati momentum Newton:
pada kecepatan yang rendah, γm0v kira-kira sama dengan m0v, ekspresi Newtonian
untuk momentum.
FORMULASI EMPAT-VEKTOR
Dalam
teori relativitas, kuantitas fisik yang dinyatakan dalam empat-vektor yang
mencakup waktu sebagai keempat berkoordinasi bersama dengan tiga koordinat
ruang. Vektor ini umumnya diwakili oleh huruf kapital, misalnya R untuk posisi.
Ekspresi untuk empat momentum tergantung pada bagaimana koordinat ditunjukkan.
Waktu dapat diberikan dalam satuan normal atau dikalikan dengan kecepatan
cahaya sehingga semua komponen dari empat vektor memiliki dimensi panjang. Jika
skala yang terakhir digunakan, selang waktu yang tepat, Ï„, didefinisikan oleh
[28]
adalah
invarian dalam transformasi Lorentz (dalam ekspresi ini dan apa yang mengikuti
(+ ---) metrik tanda tangan telah digunakan, penulis yang berbeda menggunakan
konvensi yang berbeda). Secara matematis invarian ini dapat dipastikan dalam satu
dari dua cara: dengan memperlakukan empat vektor vektor sebagai Euclidean dan
mengalikan waktu dengan akar kuadrat dari -1, atau dengan menjaga waktu
kuantitas nyata dan embedding vektor dalam ruang Minkowski [29. ] Dalam ruang
Minkowski, produk skalar dari dua empat vektor U = (U0, U1, U2, U3) dan V =
(V0, V1, V2, V3) didefinisikan sebagai
Dalam
semua koordinat sistem, (contravariant) relativistik empat kecepatan
didefinisikan oleh
dan
(contravariant) empat momentum adalah
mana
m0 adalah massa invarian. Jika R = (ct, x, y, z) (dalam ruang Minkowski), maka
[catatan 1]
Menggunakan
massa-energi kesetaraan Einstein, E = mc2, ini dapat ditulis kembali sebagai
Dengan
demikian, konservasi empat momentum adalah Lorentz-invariant dan menyiratkan konservasi
dari kedua massa dan energi.
Besarnya
momentum empat vektor sama dengan m0c:
dan
invarian di semua kerangka acuan.
The
relativistik hubungan energi-momentum berlaku bahkan untuk partikel tak
bermassa seperti foton, dengan menetapkan m0 = 0 maka bahwa
Dalam
permainan relativistik "biliar", jika partikel stasioner terkena
partikel yang bergerak dalam tumbukan elastis, jalur yang dibentuk oleh dua
kemudian akan membentuk sudut akut. Ini tidak seperti kasus non-relativistik di
mana mereka melakukan perjalanan di sudut kanan. [30]